E aproape irezistibil să ceri inteligenței artificiale să-ți facă un calcul, să-ți traseze un argument logic ori să-ți facă un rezumat de capitol sau carte întreagă. Tehnologiile din ce în ce mai puternice și mai sofisticate au depășit stadiul de unelte și înlocuiesc, mai des decât ar fi sănătos, gândirea și efortul uman. Totuși, într-o disciplină atât de precisă cum este matematica, cred că mai avem o șansă — cel puțin dacă ne asumăm gândirea abstractă, cultivată printr-o educație matematică deschisă. Este o calitate pe care o putem dezvolta din școală și pe care o pot folosi la maximum nu doar cercetătorii sau profesorii de matematică. În plus, ea ne ajută să colaborăm cu tehnologia, în loc să luptăm pentru supremație.
De cincisprezece ani lucrez cu elevi și studenți, atât în învățământul de stat, cât și în privat și, fără excepție, am întâlnit două probleme în fiecare an: concentrarea pe calcule numerice și abstractul ca atare, fără context sau implicații.
Cred că nu este întâmplător faptul că liceele din Germania, din Statele Unite sau din Marea Britanie (dau doar exemplele pe care le-am întâlnit direct), permit folosirea calculatoarelor de buzunar, inclusiv la examene. Prejudecata că matematica înseamnă calcule interminabile, mașinale, dăunează entuziasmului pe care unii elevi îl au pentru matematică și cu siguranță nu-i motivează pe cei fără înclinații spre „real” să se implice.
Sigur că e important să știm tabla înmulțirii și câteva reguli elementare de calcul, dar eu văd un șir de operații cu numere sau variabile în primul rând drept un raționament, o succesiune care dezvoltă un argument, până la o concluzie: rezultatul final.
Să reții și să respecți ordinea efectuării operațiilor, regulile semnelor și tabla înmulțirii sunt în primul rând exerciții de memorie, pentru că puțini dintre noi sunt curioși să întrebe sau să caute de ce „minus și cu minus dau plus” sau „minusul din fața parantezei schimbă semnele din paranteză” (ceea ce nu e neapărat un lucru rău, pentru că, dacă e să spun, demonstrația faptului că 1 + 1 = 2 s-a făcut pe mai bine de 300 pagini, într-un tratat de logică din secolul trecut pe care puțini l-au putut înțelege).
De ce e nevoie de abstractizare când faci educație matematică? Sună complicat. Hai să facem simplu!
Însă mai este vorba și de un exercițiu de abstractizare. În școala primară, adunările și înmulțirile se învață cu obiecte mai întâi (eu le-am învățat cu bețișoare), apoi cu „metoda grafică” a segmentelor și abia mai târziu se trece la numere ca atare. Astfel, copilul își creează o imagine mintală care să-i susțină calculele, până ce nu mai are nevoie și se descurcă să adune sau să înmulțească direct cu numere, aceste semne grafice care sunt ca literele, dar nu fac parte din alfabet, ci au câte un nume și un înțeles. Asta ține până la apariția numerelor negative, pentru care din nou e nevoie de o imagine concretă: a datoriilor, a împrumuturilor sau a lipsei până ce și aceste numere pot să stea singure în picioare.
Povestea poate să continue, cu fracții, radicali, numere imaginare, dar și cu alte obiecte matematice (funcții, ecuații și necunoscute, operatori logici), care se sprijină pe concret la început și apoi își iau zborul în abstract în mintea elevului. Exemplele și referințele practice sunt, în sensul propriu, naturale, căci matematica așa a evoluat: motivată de situații concrete, de tranzacții economice, de administrare a terenurilor și a animalelor, apoi a construcțiilor, dar și a stelelor de pe cer. Iar în fiecare epocă, chiar din perioadele egipteană și babiloniană de acum peste șase milenii, s-au găsit „înțelepți” care să abstractizeze, care să ia problemele concrete ca atare și să nu mai opereze cu opt animale — cinci mamuți și trei dinozauri — ci cu 5 + 3 = 8.
Înrădăcinarea obiectelor abstracte în concret, așadar, cred că este obligatorie în mai toate lecțiile de matematică. Este sarcina profesorului să găsească analogiile potrivite, să facă lucrurile vizibile și palpabile, dar în același timp, să fie atent și la obiectiv. Nu toți avem imaginația suficient de bogată, memoria fotografică sau abilitățile practice cu care să vizualizăm sau să ne închipuim găini sferice, șapte sute treizeci și doi de pepeni sau minus șase lei. Mai mult, există suficiente exemple de matematicieni profesioniști, geniali, care vorbesc despre obiecte (ale gândirii) sofisticate, aproape imposibil de descris, dar pe care le manipulează fiindcă le „văd”. Așa că apelul la imaginație, la ochiul minții, este esențial. Prea puțini sunt cei care pot înțelege cu adevărat că 5 + 3 = 8 fără a se sprijini pe imaginație sau pe simț practic, ca și cum ar învăța o limbă străină, dar fără etimologie și dintr-o familie necunoscută. Dintre aceștia, și mai puțini sunt elevi.
Matematica spune o poveste
De îndată ce legătura (bilaterală) între abstract și concret devine o obișnuință, e limpede și de ce șirurile de calcule sunt, de fapt, succesiuni de întâmplări și argumente. În termeni literari, operațiile sunt predicatele, iar egalul marchează consecința. Și, ca într-un discurs public, nu vrei să-ți plictisești audiența sau să fie neclare concluziile, așa că la fiecare pas optimizezi, te gândești la scurtături, descoperi tipare pe care să le comasezi, pentru ca ultimul egal pe care îl scrii să merite aplauze.
Astfel de tehnici nu sunt inventate de mine, ci au o bază neuro-psihologică semnificativă. Faptul că limbajul și imaginile mintale sunt interconectate este un lucru cunoscut și, în urmă cu câteva decenii, psihologi, lingviști și neurocercetători au propus teoria metaforelor. Asemenea procedeelor literare, și conceptele abstracte, inclusiv cele matematice se pot înțelege prin analogii, paralele sau descrieri indirecte. Între timp, teoria a fost extinsă și cu referire la alte procedee literare, ca metonimia, concluzia fiind deopotrivă prozaică și poetică: învățăm, raționăm și calculăm prin povești.
În 2000, lingvistul George Lakoff și psihologul Rafael Núñez au publicat o carte în care pun laolaltă astfel de teorii, susținute de argumente din psihologia educației și de aspecte cognitive ale limbajului. Intitulată Where Mathematics Comes From, cartea prezintă ceea ce autorii numesc „matematica întrupată”, căci cunoaștem, înțelegem și operăm, inclusiv cu obiecte abstracte, prin intermediul lumii fizice din jur și al propriei fiziologii.
Abstractul matematicii, așadar, este unul de imagine și imaginație. La fel cum poveștile ne-au hrănit copilăria și continuă să fie părți importante din viețile unora dintre noi, și educația matematică, fundamentată similar, poate îndulci sperietoarea sau slăbiciunea care este pentru mulți această disciplină. Reputația matematicii printre elevi, în speță, e întreținută de calcule interminabile, reguli de nepătruns, dar de memorat, imperativele și impersonalele „Să se calculeze…”, „Se consideră…” sau cripticul aproape mistic „Fie…”. Așa că îmi permit să las o temă, în încheiere: Data viitoare, gândiți-vă la povestea matematicii.
Despre cum să faci școală bine în România și mai jos. Dar și aici
